[1] 이산형/연속형 확률분포

확률이란 표본공간 S에 부분집합인 각 사상에 대해 실수값을 가지는 함수의 확률값이 0과 1사이에 있고, 전체 확률의 합이 1인 것을 의미한다. 

이 중에서도 확률변수는 특정값이 나타날 가능성이 확률적으로 주어지는 변수이며,

이산형 변수와 연속형 변수에 따라 기댓값에 대한 정의가 달라진다. 

 

 

적률은 수학에서 함수의 모양을 설명하며, 통계학에서는 1에서 부터 4까지, 평균에서부터 첨도로 나뉜다. 

일반적으로 확률변수 X에 있어 k차 적률은 다음과 같다.

 

 

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• 이산형 확률 변수에서의 확률 분포 

확률변수에서도 이산형 확률 변수는 0이 아닌 확률값을 갖는 확률 변수를 셀 수 있는 경우이며,

이산형 확률분포 내에는 베르누이 확률 분포가 있으며 결과가 2개만 나오는 경우이다.

 

반면, 결과가 N번 반복 될때 K번 성공할 확률에 대한 분포는 이항 분포이다.

가장 운이 좋을 때에는 N번 모두 성공할 것이고 가장 운이 나쁜 경우에는 한 번도 성공하지 못할 것이다. NN번 중 성공한 횟수를 확률변수 XX라고 한다면 XX의 값은 0 부터 NN 까지의 정수 중 하나가 될 것이다.

이런 확률변수를 **이항분포(binomial distribution)**를 따르는 확률변수라고 하며 다음과 같이 표시한다.

 

 

기하분포는 반대로 성공확률이 P인 베르누이 시행에서 첫번째 성공이 있기까지 x번 실패할 확률이다. 

 

 

다항분포는 세가지 이상의 결과를 가지는 반복 시행에서 발생하는 확률분포이다.

 

 

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• 연속형 확률변수에 따른 확률분포

연속형 확률변수는 가능한 값이 실수의 어느 특정 구간 전체에 해당하는 확률 변수를 의미한다. 

그중에서도 균일분포는 모든 확률변수 X가 균일한 확률을 가지는 확률 분포이다.

반면 정규분포의 경우 평균이  μ 이고 표준 편차가 σ인 x의 확률밀도함수다. 

 

 

표준 정규 분포를 따르려면 Z식을 이용하면 된다.

 

일반적으로 통계 분석에는 크게 2가지 분석이 있다.

1) 집단간의 차이를 보는 분석 그리고 2)관계를 보는 분석.

 

t-분포는 표준정규분포와 같이 평균이 0을 중심으로 좌우가 동일한 분포를 따르며, 표본이 커져서 자유도가 증가하면 표준정규분포와 동일한 분포가 된다. 또한 일반적으로 두 집단의 평균이 동일한지 알고자 할 때 검정통계량으로 활용한다.

 

 

카이제곱분포는 '변동'에 관한 분포이다. 

모평균과 모분산이 알려지지 않았을 때 모집단의 모분산에 대한 가설검정에 사용되며 일반적으로 두 집단 혹은 그 이상 간의 동질성 검정에 활용된다. 카이제곱 분포는 변동의 단위와 자료수를 반영할 수 있도록 고안되었다. 

 

예를 들어 키를 비교하고자 하는 두 집단이 cm단위와 m단위로 수집이 되었다면, 두 집단의 비교에 있어 잘못된 결과가 나올 것이다.(변동의 단위) 뿐만 아니라 분석하고자 하는 집단의 자료수가 한 집단은 10명, 다른 집단 100명으로 구성되어 있을 경우 또한 결과에 있어 문제점이 있을 것이다. 

 

카이제곱분포는 자유도에 의해 분포의 형태가 결정되며 자유도가 커지면 분포의 모양이 대칭에 가까워진다.

자유도는 집단의 규모와 관련이 있다. 따라서 집단의 수가 증가하면 정규분포 모양에 가까워진다. 

 

 

F-분포는 카이제곱의 ratio가 따르는, 두 집단간 분산의 동일성 검정에 사용되는 검정 통계량의 분포이다. 카이제곱분포와는 다르게 자유도가 2개이며, 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워진다는 특징을 가지고 있다. 

 

자유도가 여러개인 그래프 

 

지수분포는 어떠한 사건이 발생할 때까지 경과 시간에 대한 연속 확률 분포이다. 

 

 

 

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