[2] 추정과 가설 검정

추정이란, 표본으로부터 미지의 모수를 추측하는 것이다.

추정에는 1) 점추정 과, 2) 구간추정 이 있다.
점추정의 경우, 모수가 특정한 값일 것이라고 추정하는 것이며 표본의 평균, 중위수, 최빈값을 사용한다.
반면 구간 추정의 경우, 점추정의 정확성을 보완하기 위해 확률로 표현된 믿음의 정도 하에서 모수가 특정한 구간에 있을 것이라고 선언하는 것이다.
구간 추정의 경우 항상 추정량의 분포에 대한 전제가 주어져야 하고, 구해진 구간 안에 모수가 있을 가능성의 크기(신뢰수준)이 주어져야 한다.
이를테면 내가 이번 중간고사에서 정확히 90점을 맞출 것이다! 라고 추정하는 것보다는 80-90점 사이의 점수가 나올 것이다 라고 추정하는 편이 더 신뢰성있는 것처럼 말이다.

이러한 점추정량에서는 다음과 같은 조건이 있다.
1. 불편성(Unbiasedess)
: 모든 가능한 표본에서 얻은 추정량의 기댓값은 모집단의 모수와 차이가 없다.
2. 효율성(effciency)
:추정량의 분산이 작을수록 좋다.
3. 일치성(consistency)
:표본의 크기가 아주 커지면 추정량이 모수와 거의 같아진다.
4. 충족성(sufficient)
: 추정량은 모수에 대하여 모든 정보를 제공한다.

반면 가설검정은 추정에서 더 나아가 모집단에 대한 가설을 세우고, 표본 관찰을 통해 가설에 대한 채택 여부를 결정한다. 가설 검정은 귀무가설과 대립가설 중에서 하나를 선택하는 과정이며, 귀무가설이 옳다는 전제 하에 검정통계량 값을 구한 후 이 값이 나타날 가능성의 크기에 의해 귀무가설의 채택여부를 결정한다.

귀무가설은 비교하는 값과 차이가 없다, 동일하다를 기본 개념으로 하는 가설이다.
대립가설은 뚜렷한 증거가 있을 때 주장하는 가설이다.

검정통계량은 관찰된 표본으로부터 구하는 통계량이며, 유의수준(alpha)은 귀무가설을 기각하게 되는 확률의 크기이다.
유의수준은 귀무가설이 옳은데도 불구하고 이를 기각하는 확률의 크기라고 보면 쉽다(오차가 발생할 확률)

'귀무가설이 옳은데도 불구하고'라는 전제조건이 붙는 이유는 다음과 같다.
주장하고 싶은 대립가설을 만족시키기 위해서는 귀무가설이 기각되어야 하는데, 귀무가설이 옳은데도 실수로 기각될 확률인 1종 오류를 범할 확률을 최소화 하기 위함이다.

기각역은 귀무가설이 옳다는 전제 하에서 구한 검정 통계량의 분포에서 확률이 유의수준 alpha인 부분이다.

예를 들어, "00대학교에 재학중인 남성의 평균 키(180cm)는 대한민국 남성 평균키(172cm)보다 크다" 라는 가설에 대해 검증해보자. 귀무가설의 경우 00대학생을 포함한 모든 남성의 평균 키는 172cm이다 가 될 것이며, 대립가설의 경우 00대학교에 재학중인 남성의 평균키가 172cm가 아닐 것이다 로 설정될 것이다.
만약 검정통계량을 구했고, 유의수준이 0.05%(신뢰도 95%)라면 p값이 0.05보다 더 작을 경우 귀무가설을 기각할 수 있다.

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통계적 검정에서 모집단의 모수에 대한 검정은 모수적 감정과 비모수적 감정으로 구분한다.
모수적 방법은 검정하고자 하는 모집단의 분포에 대한 가정을 하고, 가정 하에서 검정 통계량과 분포를 유도해 검정을 실시한다.
비모수적 방법은 자료가 추출된 모집단의 분포에 대한 아무 제약을 가하지 않고 검정을 실시하는 방법이다.
비모수적 방법은 관측된 자료에 특정분포를 따른다고 가정할 수 없는 경우 주로 이용하며, 자료의 수가 많지 않거나 서열관계를 나타내는 경우에 이용한다.

모수적 검정과 비모수 검정에 있어서 차이점은 다음과 같다.
가설을 설정할 경우
모수적 검정은 가정된 분포의 모수에 대해 가설을 설정하지만,
비모수적 검정의 경우 가정된 분포가 없으므로 가설은 '분포의 형태가 동일하다' 혹은 '분포의 형태가 동일하지 않다'와 같이 분포의 형태에 대해 설정할 뿐이다.

검정방법의 경우
모수적 검정의 경우 관측된 자료를 이용해 구한 표본평균과 분산을 이용해 검정을 실시하는 반면
비모수 검정의 경우 관측값의 절대적인 크기에 의존하지 않는 관측값들의 순위나 두 관측값 차이의 부호등을 이용해 검정한다.